Разбор задачи: Разбиение на палиндромы

Предложенный нами код решения:

 def partition(s: str):
        n = len(s)
        dp = [[] for _ in range(n + 1)]
        dp[n] = [[]]
        for begin in range(n - 1, -1, -1):
            for end in range(begin + 1, n + 1):
                candidate = s[begin:end]
                if candidate == candidate[::-1]:
                     for each in dp[end]:
                         new_each = [candidate]
                         new_each.extend(each)
                         dp[begin].append(new_each)
        return dp[0]

Для решения задачи используется динамическое программирование (DP). В этом подходе мы будем хранить уже вычисленные результаты для подстрок, чтобы избежать их повторного вычисления.

Шаг 1: Инициализация переменной dp

n = len(s)
dp = [[] for _ in range(n + 1)]
dp[n] = [[]]

1. n = len(s) — определяем длину строки s, так как нам нужно будет итерировать по всем её подстрокам.
2. dp = [[] for _ in range(n + 1)] — создаем список dp размером n + 1, в котором будет храниться информация о разбиениях всех возможных подстрок.
   • dp[i] будет содержать все возможные разбиения строки, начиная с индекса i до конца.
   • Начально, в каждой ячейке dp[i] будет пустой список. Это означает, что на момент начала работы алгоритма разбиений для этих индексов еще нет.
3. dp[n] = [[]] — в dp[n] мы инициализируем пустое разбиение. Это условие, что если мы рассматриваем строку с позиции n (конец строки), то не нужно больше разделять строку. То есть, для пустой строки (после конца строки) разбиение — это просто пустой список.

Шаг 2: Два вложенных цикла

for begin in range(n - 1, -1, -1):
    for end in range(begin + 1, n + 1):
        candidate = s[begin:end]
        if candidate == candidate[::-1]:
            for each in dp[end]:
                new_each = [candidate]
                new_each.extend(each)
                dp[begin].append(new_each)

1. Внешний цикл for begin in range(n - 1, -1, -1) — этот цикл идет от конца строки к началу. Индекс begin указывает на начало подстроки, которую мы будем анализировать. Это делается для того, чтобы в динамическом программировании работать с уже вычисленными подстроками.
   • Мы начинаем с позиции n - 1 и двигаемся к нулевой позиции строки.
2. Внутренний цикл for end in range(begin + 1, n + 1) — второй цикл идет от индекса begin до конца строки. Он создает все возможные подстроки, начиная с индекса begin. Для каждой такой подстроки мы проверяем, является ли она палиндромом.

Шаг 3: Проверка на палиндромность

candidate = s[begin:end]
if candidate == candidate[::-1]:

Для каждой подстроки, определенной как s[begin:end], мы проверяем, является ли она палиндромом. Это делаем с помощью сравнения строки с её обратной версией candidate[::-1].

• Если подстрока является палиндромом, мы продолжаем разбиение.

Шаг 4: Формирование новых разбиений

for each in dp[end]:
    new_each = [candidate]
    new_each.extend(each)
    dp[begin].append(new_each)

1. Цикл for each in dp[end] — для каждой возможной комбинации разбиений строки, начиная с индекса end, мы добавляем текущую подстроку candidate в начало разбиения.
   • dp[end] содержит все возможные разбиения для подстроки, начиная с индекса end.
2. new_each = [candidate] — создаем новый список, который будет начинаться с текущей подстроки candidate.
3. new_each.extend(each) — добавляем все разбиения из dp[end] в new_each. Это гарантирует, что текущая подстрока будет первым элементом разбиения.
4. dp[begin].append(new_each) — добавляем новое разбиение в dp[begin]. Это означает, что теперь для подстроки, начинающейся с индекса begin, есть новое разбиение, в котором первая подстрока — палиндром.

Шаг 5: Возврат результата

return dp[0]

После завершения всех итераций в циклах, в dp[0] будет содержаться все возможные разбиения исходной строки на палиндромы. Мы возвращаем этот результат.

Пример:

Для строки "aab":

1. Инициализация:
   • dp = [[], [], [], [[]]], так как длина строки aab равна 3, и для позиции 3 (конец строки) мы помещаем пустой список.
2. Цикл для begin = 2:
   • Подстроки: "a", "ab", "aab". Подстрока "a" является палиндромом.
   • Мы добавляем подстроку "a" в dp[2].
3. Цикл для begin = 1:
   • Подстроки: "a", "aa", "aab". Подстрока "a" является палиндромом, подстрока "aa" является палиндромом.
   • Мы добавляем разбиение "a", "a" в dp[1] и разбиение "aa", "b" в dp[1].
4. Цикл для begin = 0:
   • Подстроки: "a", "aa", "aab". Подстрока "a" является палиндромом, подстрока "aa" является палиндромом.
   • Мы добавляем разбиение "a", "a", "b" в dp[0] и разбиение "aa", "b" в dp[0].
5. Результат:
   • В dp[0] содержатся все возможные разбиения строки "aab": [['a', 'a', 'b'], ['aa', 'b']].

Что такое dp:

• dp[i] — это список всех возможных разбиений строки, начиная с индекса i до конца строки. Каждый элемент в dp[i] — это разбиение, где каждая подстрока является палиндромом.
• Сначала dp[n] — это пустой список, так как для пустой строки разбиение не требуется. Затем мы строим разбиения для всех других позиций строки, начиная с конца.

Таким образом, dp хранит информацию о том, какие разбиения возможны для каждой подстроки, и помогает эффективно решать задачу с помощью динамического программирования.